题目

设a>0,函数f(x)=1/x^2+a 证明:存在唯一实数x0∈(0,1/a),使f(x0)=x0

分类:数学


满意答案

这个a是加在分母上的吗?
如果是的话,那解法如下,如果不是,那我没办法!
即证在x∈(0,1/a)上,方程f(x)=x有唯一解
而方程方程f(x)=x即1/(x^2+a)=x
可化成x^3+ax-1=0
令g(x)=x^3+ax-1 问题就转化为g(x)=0在x∈(0,1/a)上有唯一解
g'(x)=3x^2+a
由于a>0 故 g'(x)>0恒成立
所以g(x)在(0,1/a)为增函数
故g(x)=0在(0,1/a)最多一个解 ①
又因g(0)=-10
所以g(x)=0在(0,1/a)一定有解 ②
由①②知g(x)=0在(0,1/a)一定有唯一解
即存在唯一实数x0∈(0,1/a),使f(x0)=x0
总结:通常证明在某区间上有唯一解问题,先证明函数为单调函数,这可以说明最多一个解,再算区间两端点的函数值,只要符号相反,说明区间内必有解
结合两个方面说明只有唯一解

热门问答

利用函数的单调性的定义证明函数f(x)=-x³+1在实数范围内的减函数
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若函数f(x)=sinx/2cosx/2+cos2x/2-1/2(1)若f(α)=√2/4,α属于(0,2π),求α的值
(2)求f(x)在-四分之派,π上的最大值和最小值及相应的x值
(1) 若函数f(x)=sinx/2cosx/2+cos2x/2-1/2 => 化简得f(x)=1/2*sinx+1/2*cos2x-1/2
=1/2sinx+1/2*[1-2sin^2(x)]-1/2
=-sin^2(x)+1/2sinx
当f(α)=√2/4时,有 -sin^2(x)+1/2sinx=√2/4 => -(sinx-1/4)^2=√2/4-1/16>0
但是左边 √2sin(x+π/4)-2=√2 => √2 * sin(x+π/4)=√2+2
sin(x+π/4)=1+√2>1 因为|sin(x+π/4)|《1,所以在(0,2π)上,无α满足上面条件.
(2)当x 在[-π/4,π]上时 由 -π/4《x《π => 0《x《5/4π
所以 -1《√2 * sin(x+π/4)《√2 => -1/4《√2 /4 sin(x+π/4)《√2 /4
=> -1/4-1/2《√2/4 sin(x+π/4)-1/2《√2/4-1/2
=> f(x)最大值√2/4-1/2 ;最小值-3/4
若实数x,y满足x^2+y^2-4x-2y+5=0,则[(根号x)+y]/[(根号3)y-2(根号x)]的值是?
x^2+y^2-4x-2y+5=0
(x-2)^2+(y-1)^2=0
x=2,y=1
[(√x)+y]/[(√3)y-2(√x)]
=[(√2)+1]/[(√3)*1-2(√2)]
=(√2+1)/(√3-2√2)
=-(√2+1)*(√3+2√2)/3
matlab 6.8000e+003 表示什么数
6.8乘以10的3次方
a−2b+c
sinA−2sinB+sinC
=______.">已知△ABC中,A:B:C=1:2:3,a=1,则
a−2b+c
sinA−2sinB+sinC
=______.
3

∴由正弦定理得:
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=
−2b
−2sinB
=
1
1
2
=2,
a−2b+c
sinA−2sinB+sinC
=2.
故答案为:2">根据A:B:C=1:2:3,得到A=30°,B=60°,C=90°,
∵a=1,∴c=2,b=
3

∴由正弦定理得:
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=
−2b
−2sinB
=
1
1
2
=2,
a−2b+c
sinA−2sinB+sinC
=2.
故答案为:2
设函数f(x )=ka的x 次方-a的负x次方(a>0且a ≠1)是定义在R上的奇函数 (1)求k的值
设函数f(x )=ka的x 次方-a的负x次方(a>0且a ≠1)是定义在R上的奇函数 (1)求k的值
知道手机网友你好:
你要发布问题,就把问题发完整.问的题目是什么,写清楚.以免浪费短信费,耽误你

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