题目

已知f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx+c在x1处取得极大值,x2处取得极小值,x1属于(-1,1),x2属于(2,4),则a+2b的取值范围

分类:数学


满意答案

f'(x)=x²+ax+b
x1,x2分别是f(x)的极大值点和极小值点
那么x1,x2是f'(x)=0的两个根
∵x1∈(-1,1),x2∈(2,4)
且二次函数f'(x)图像开口朝上
∴问题等价于
 {f‘(-1)=-a+b+1>0 ,即a-b-1<0,b>a-1
 {f'(1)=a+b+1<0,即b<-a-1
 {f'(2)=2a+b+4<0即b<-2a-4
 {f'(4)=4a+b+16>0即b>-4a-16
画出上述不等式有如下图

 
阴影部分就是a、b的取值范围
 
另z=a+2b,则,b=-a/2+z/2
可以理解为其是b=-1/2a,上下移动时的截距,可以看出取D\A点坐标时,截距有最大最小值
此时z分别等于3,-12
所以a+2b的范围是(-12,3)

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