题目

设函数f(x)=-(1/2)x²+13/2的定义域和值域分别是[a,b]和[2a,2b],求a,b的值

分类:数学


满意答案

思路:分情况讨论
易知,f(x)图象关于y轴对称,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在[0,+∞)上单调递减
情况(1)若0<a<b,f(a)>f(b)
则f(a)=2b,f(b)=2a
即-1/2 a²+13/2=2b —— ——①
-1/2 b²+13/2=2a—— ——②
由①得 b=-1/4 a²+13/4
代入②,得-1/2(-1/4 a²+13/4)²+13/2=2a
化简,得 a^4-26a²+64a-39=0————③
这个方程不好解,采取分解因式法.
设g(a)=a^4-26a²+64a-39,则方程③即为g(a)=0
先将39分解因数,39=3×13,将a=3代入g(a),可得g(3)=0
说明a=3是方程③的一个根
∴g(a)=(a-3)×A (A是代数式)
g(a)=(a^4-3a³)+(3a³-9a²)-(17a²-51a)+(13a-39)
=(a-3)a³+3(a-3)a²-17(a-3)a+13(a-3)
=(a-3)(a³+3a²-17a+13)
∴上述的A=a³+3a²-17a+13
同理,A=(a-1)(a²+4a-13)
解方程 a²+4a-13=0
得a1=-2+√17,a2=-2-√17
∴g(a)=(a-3)(a-1)[a-(-2+√17)] [a-(-2-√17)]
∴方程g(a)=0的根为
a1=3 a2=1 a3=-2+√17 a4=-2-√17
又a>0,∴a=3,1,-2+√17
若a=3 代入方程①,解得b=1<a(舍去)
若a=1 代入①,得b=3 ∴a=1,b=3是一组解
若a=-2+√17,解得b=-2+√17=a
严格地讲,此时[a,b]不是一个区间,而是一个点,∴舍去
情况(2)若a<0<b
则f(0)=2b,f(a)=2a或f(b)=2a
则b=13/4 ∴f(b)=39/32
情况① 若f(a)=2a
即-1/2a²+13/2=2a且应满足f(a)≤f(b)
解得a1=-2+√17>0(舍去),a2=-2-√17
此时满足f(a)<f(b)
情况②若f(b)=2a 则应满足f(b)≤f(a)
a=39/64>0(舍去)
情况(3)若a<b<0 则f(a)<f(b)
∴f(a)=2a,f(b)=2b
即-1/2a²+13/2=2a
-1/2b²+13/2=2b
分别解之,得a1=-2+√17>0(舍去),a2=-2-√17
b1=-2+√17>0(舍去),b2=-2-√17=a(舍去)
综上所述,a=1,b=3或a=-2-√17,b=13/4
注:若题目改为“定义域为{x|a≤x≤b}、值域为{y|2a≤y≤2b}”
则a=b=-2+√17或a=b=-2-√17也可作为解

热门问答

已知tana,tanb是方程X^2-3X-3=0的两个实数根.求sin^2(a+b)-sin(a+b)cos(a+b)的值.
由韦达定理可以得到tan(a)+tan(b)=3,tan(a)*tan(b)=-3,所以tan(a+b)=3/4.也就是说sin(a+b)/cos(a+b)=3/4.因此sin(a+b)=3/5,cos(a+b)=4/5或者sin(a+b)=-3/5,cos(a+b)=-4/5.代入要求的表达式得到sin(a+b)^2- sin(a+b)cos(a+b)=-3/25.(你的题里面sin(a+b)^2写的是sin^2 (a+b),不知道是不是这个意思,如果不是,也可以带入自己算)
x=
3
,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是(  )
A.
2
2
3

B.
2
3
3

C.
4
3

D.
2
6
3
">(2011•安徽模拟)已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=
3
,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是(  )
A.
2
2
3

B.
2
3
3

C.
4
3

D.
2
6
3
x=
3

f(0)=f(
10
3
π)

a=−
3
2
a
2

a=−
3
3

g(x)=−
3
3
sinx+cosx=
2
3
3
sin(x+
3
)

g(x)max
2
3
3

故选B.">∵函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=
3

f(0)=f(
10
3
π)

a=−
3
2
a
2

a=−
3
3

g(x)=−
3
3
sinx+cosx=
2
3
3
sin(x+
3
)

g(x)max
2
3
3

故选B.
已知sinα-2cosα=0,则(sinα)^2+2sinαcosα的值为?
sinα-2cosα=0移向 sinα=2cosα tana=2
sina=2/杠号5 cosa=1/杠号5 2sinαcosα=4/5
(sinα)^2=4/5
结果是8/5
函数f(x)的定义域是(1,9】.函数g(x)=f(x)+f(x的平方)的定义域是多少?
我算出来(1,3】对么.
g(x)=f(x)+f(x^2)
因为函数f(x)的定义域是(1,9】.
又因为 x^2符合函数关系f
所以 1
设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图像关于直线x=1/2对称
若f(x)是定义在R上的奇函数,且y= f(x)的图像关于x=1/2 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________
f(x)是定义在R上的奇函数
f(0)=0 y= f(x)的图像关于x=1/2 对称
f(1)=0 f(-1)=-f(1)=0 y= f(x)的图像关于x=1/2 对称
f(2)=0 f(-2)=-f(2)=0 ……f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=____0____
已知:cos(x-pai/4)=根号2/10,x属于pai/2,3pai/4,求sin(2x+pai/3)的值
cos(2(x-pai/4))=2 (cos(x-pai/4))^2-1=2×(√2/10)^2-1=-24/25
cos(2(x-/4)) = cos(2x-pai/2)=sin2x
sin2x=-24/25
x(pai/2,3pai/4)
则2x(pai,3pai/2)
cos2x=-√(1-sin^2(2x))=-7/25
sin(2x+pai/3)=sin2xcos pai/3+cos2x sin(pai/3)=-(48+7√3)/50

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