题目

已知函数f(x)=lnx-
a
x

(Ⅰ)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(Ⅱ)若f(x)在[1,e]上的最小值为
3
2
,求实数a的值;
(Ⅲ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.

分类:数学


满意答案

(Ⅰ)由题意得f(x)的定义域是(0,+∞),且f′(x)=
x+a
x2

∵a>0,∴f′(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)单调递增;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f′(x)=
x+a
x2

①若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上递增,
∴f(x)min=f(1)=-a=
3
2
,∴a=-
3
2
(舍),
②若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上递减,
∴f(x)min=f(e)=1-
a
e
=
3
2
,∴a=-
e
2
(舍),
③若-e<a<-1,令f′(x)=0,得x=-a,
当1<x<-a时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)递减,
当-a<x<e时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)递增,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=
3
2
,∴a=-
e

综上a=-
e

(Ⅲ)∵f(x)<x2,∴lnx-
a
x
<x2,又x>0,∴a>xlnx-x3
令g(x)=xlnx-x3,h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2,h′(x)=
1−6x2
x

∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)递减,
∴h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)递减,
∴g(x)<g(1)=-1,∴a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)恒成立.

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x
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