题目

已知椭圆 C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0) 的离心率为 √2/2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+√2=0 相切
(1)求椭圆C方程
(2)若过点M(0,2)的直线与椭圆C相交于A,B两点,设P为椭圆上一点,且满足
向量OA+向量OB=T倍向量OP(O为坐标原点),当
|向量PA-向量PB|

分类:数学


满意答案

(1)因为离心率为√2/2,所以c/a=√2/2(圈1)
设圆的方程为x²+y²=b²
圆与直线相切,则圆心到直线的距离为圆的半径,由点到直线的距离有:
b=|1*0-1*0+√2|/√(1²+(-1)²)=√2/√2=1
又因为a²=b²+c²=c²+1(圈2)
联立圈1圈2,解得
a=√2,c=1
所以椭圆C的方程为x²/2+y²=1
(2)因为直线过M(0,2),所以设直线方程为:y=kx+2
与椭圆方程联立,
消去y,可得(2k²+1)x²+8kx+6=0
消去x,可得(2k²+1)y²-4y+4-2k²=0
设A(xA,yA),B(xB,yB)
由韦达定理,得xA+xB=-8k/(2k²+1),xA*xB=6/(2k²+1)
yA+yB=4/(2k²+1),yA*yB=(4-2k²)/(2k²+1)
由于|向量PA-向量PB|

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