题目

设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:在[0,a]上至少存在一点ξ,使f(ξ)=f(ξ+a).
解题的思路和入点是什么

分类:数学


满意答案

设函数F(x) = f(a+x)-f(x) 则F(x)在[0,2a]上连续
F(a) = f(a+a)-f(a)=f(2a)-f(a) 又因为f(0)=f(2a) 所以F(a) =f(0)-f(a)
F(0) = f(a)-f(0) =-F(a)
由连续区间函数介值定理,必然存在一点ξ,使得F(X)的值为0
若使得F(x)=0,意味着f(a+x)-f(x)=0所以f(a+x)=f(x)得证.

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