题目

对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),对任给的正数m,存在相应的x0 D,使得当x D且x>x0时,总有 则称直线l:y=kx+b为曲线y=f(x)与y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D= 的四组函数如下:
①f(x)=x²,g(x)=根号x; ②f(x)=10^(-x)+2,g(x)=(2x-3)/x;
③f(x)=(x²+1)/x,g(x)=(xlnx+1)/lnx; ④f(x)=2x²/(2x+1),g(x)=2(x-1-e^(-x)).
其中,曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是
A.①④ B.②③ C.②④ D.③④
(为什么存在分渐近线的充要条件是x→∞时,f(x)-g(x)→0?)

分类:数学


满意答案

f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x→∞时,f(x)-g(x)→0.
对于①f(x)=x2,g(x)= x ,当x>1时便不符合,所以①不存在;
对于②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x 肯定存在分渐近线,因为当时,f(x)-g(x)→0;
对于③f(x)=x2+1 x ,g(x)=xlnx+1 lnx ,f(x)-g(x)=1 x -1 lnx ,
设λ(x)=x-lnx,λn(x)=1 x2 >0,且lnx<x,
所以当x→∞时x-lnx越来愈大,从而f(x)-g(x)会越来越小,不会趋近于0,
所以不存在分渐近线;
对于④f(x)=2x2 x+1 ,g(x)=2(x-1-e-x),当x→0时,f(x)-g(x)=-2 1+1 x +2+2 ex →0,
因此存在分渐近线.故,存在分渐近线的是②④选C
故选C

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