题目

三角函数的定义
说说吧 定义

分类:数学


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锐角三角函数
  
锐角三角函数(3张)在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角.则定义以下运算方式:   sin ∠A=∠A的对边长/斜边长,sin A记为∠A的正弦;sinA=a/c   cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长,cos A记为∠A的余弦;cosA=b/c   tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切;   当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”.   sinA=cosB sinB=cosA
常见三角函数
  
在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y).   在这个直角三角形中,y是θ的对边,x是θ的邻边,r是斜边,则可定义以下六种运算方法:   基本函数 英文 表达式 语言描述
正弦函数 Sine sin θ=y/r 角θ的对边比斜边
余弦函数 Cosine cos θ=x/r 角θ的邻边比斜边
正切函数 Tangent tan θ=y/x 角θ的对边比邻边
余切函数 Cotangent cot θ=x/y 角θ的邻边比对边
正割函数 Secant sec θ=r/x 角θ的斜边比邻边
余割函数 Cosecant csc θ=r/y 角θ的斜边比对边
在初高中教学中,主要研究正弦、余弦、正切三种函数.    注:tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法. sinπ/3
非常见三角函数
  除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数,这些运算已趋于淘汰:   函数名 与常见函数转化关系
正矢函数 versinθ=1-cosθ
余矢函数 coversθ=1-sinθ
半正矢函数 haversθ=(1-cosθ)/2;
半余矢函数 hacoversθ=(1-sinθ)/2;
外正割函数 exsecθ=secθ-1
外余割函数 excscθ=cscθ-1
单位圆定义
  六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义.单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形.但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角.它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了.根据勾股定理, 三角函数
单位圆的方程是:x^2+y^2=1   图像中给出了用弧度度量的一些常见的角.逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角.设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交.这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cosθ和sinθ.图像中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1,所以有 sinθ = y/1 和 cosθ = x/1.单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式.   对于大于 2π 或小于等于2π 的角度,可直接继续绕单位圆旋转.在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数:对于任何角度 θ 和任何整数 k.   周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”.正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是 2π 弧度或 360°;正切或余切的基本周期是半圆,也就是 π 弧度或 180°.上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示.    其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中,在角 kπ 附近变化缓慢,而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速.正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线.这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷,而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷.   另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义,类似于历史上使用的几何定义.特别 三角函数
是,对于这个圆的弦 AB,这里的 θ 是对向角的一半,sin θ 是 AC(半弦),这是印度的阿耶波多介入的定义.cosθ 是水平距离 OC,versin θ =1-cosθ 是CD.tanθ 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度,所以这个函数才叫正切.cotθ 是另一个切线段 AF. secθ =OE 和 cscθ =OF 是割线(与圆相交于两点)的线段,所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影.DE 是 exsecθ = secθ-1(正割在圆外的部分).通过这些构造,容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散,而余割和余切在 θ 接近零的时候发散.
三角函数线
  依据单位圆定义,   我们可以做三个有向线段(向量)来表示正弦、余弦、正切的值.   如图所示,圆O是一个单位圆,P是α的终边与单位圆上的交点,M点是P在x轴的投影,S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点,过S点做圆O的切线l.   那么向量MP对应的就是α的正弦值,向量OM对应的就是余弦值.OP的延长线(或反向延长线)与l的交点为T,则向量ST对应的就是正切值.向量的起止点不能颠倒,因为其方向是有意义的.   借助线三角函数线,我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正,余弦值为负,正切值为负.   1、锐角三角函数定义   锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数.   正弦(sin)等于对边比斜边;   余弦(cos)等于邻边比斜边;
三角函数(8张)  正切(tan)等于对边比邻边;   余切(cot)等于邻边比对边;   正割(sec)等于斜边比邻边;   余割 (csc)等于斜边比对边.   2、互余角的三角函数间的关系   sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,   tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.   3、同角三角函数间的关系   商数关系:   sinA/cosA=tanA   ·平方关系:   sin^2(A)+cos^2(A)=1   ·积的关系:   sinA=tanA·cosA   cosA=cotA·sinA   cotA=cosA·cscA   tanA·cotA=1   ·倒数关系:   直角三角形ABC中,   角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,   余弦等于角A的邻边比斜边   正切等于对边比邻边,   余切等于邻边比对边   4、三角函数值   (1)特殊角三角函数值   (2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表.   (3)锐角三角函数值的变化情况   (i)锐角三角函数值都是正值   (ii)当角度在0°~90°间变化时,   正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)   余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)   正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)   余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)   (iii)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,   0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,   当角度在0°0.   特殊的三角函数值   0° 30° 45° 60° 90°   0 1/2 √2/2 √3/2 1 ← sinA   1 √3/2 √2/2 1/2 0 ← cosA   0 √3/3 1 √3 None ← tanA   None √3 1 √3/3 0 ← cotA   “锐角三角函数”属于三角学,是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容.从《数学课程标准》看,中学数学把三角学内容分成两个部分,第一部分放在义务教育第三学段,第二部分放在高中阶段.在义务教育第三学段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,本套教科书安排了一章的内容,就是本章“锐角三角函数”.在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.无论是从内容上看,还是从思考问题的方法上看,前一部分都是后一部分的重要基础,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,是学习三角函数和解斜三角形的重要准备.

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